Применение модели САРМ для расчета ставки дисконтирования на российском рынке инвестиций

Введение

Одной из наиболее важных задач при проведении оценки является определение ставки дисконтирования. Этой проблеме уделено немало внимания как в нашей стране, так и за рубежом. Однако, единого подхода к ее определению так и не выработано. Наибольшее признание получили три метода:

Таким образом, в качестве первого шага к определению ставки дисконтирования наиболее предпочтителен третий метод, так как он не зависит от субъективизма исследователя и математически обоснован. Однако, встает вопрос о возможности его применения в российских условиях. Противники использования САРМ приводят два основных аргумента: модель описывает идеальный рынок, а российский рынок нельзя назвать идеальным. Его короткая, но бурная история развития вообще ставит под сомнение возможность применения какой-либо теории. Другой аргумент состоит в отсутствии достаточного для построения модели объема данных. На западе строят модель САРМ для периода в десять и более лет. В России можно найти данные о котировках на фондовом рынке лишь за пять лет. При этом торгуются в основном акции трех десятков компаний ? какой уж тут анализ.

Тем не менее, в данной работе сделана попытка оценить возможность использования САРМ для расчета ставки дисконтирования на российском рынке инвестиций. Наше исследование не претендует на доказательство работоспособности САРМ в России. Это лишь попытка ее использования, попытка определить, насколько основные вытекающие из этой модели результаты соответствуют статистическим данным по нашему рынку.

Краткое описание модели САРМ.

Дадим краткое описание используемой модели. Однако, поскольку в данном исследовании важна лишь основная идея этой модели, мы не будем прибегать к математическому формализму, а попытаемся дать ее качественную характеристику.

Рассмотрим идеальный конкурентный рынок, т.е. рынок, все участники которого располагают одинаковой информацией и принимают на ее основе наилучшие, оптимальные решения. Полная и одинаковая информативность означает, что все участники рынка обладают всей статистической информацией по каждой торгующейся ценной бумаге. Оптимальность характеризует стремление каждого участника рынка сформировать оптимальную структуру своего портфеля ценных бумаг.

Один из выводов теории оптимального портфеля гласит: структура рисковой части оптимального портфеля не зависит от индивидуальной склонности инвестора к риску и полностью определяется вероятностными характеристиками рисковых ценных бумаг. Отсюда сразу следует простое заключение: опираясь на одинаковую исходную информацию все инвесторы будут стремиться выбрать одну и ту же структуру рисковой части своего портфеля.

Совокупный спрос инвесторов будет предъявлен рынку, но количество ценных бумаг, предложенных к продаже, может не соответствовать спросу. Тогда вступают в действие законы конкурентного рынка: курс ценных бумаг, спрос на которые превышает предложение, будет расти, а курс ценных бумаг, спрос на которые ниже предложения, начнет снижаться. Вследствие этого, эффективность первых ценных бумаг увеличится, а вторых уменьшится. Рынок перейдет в новое состояние. Для этого состояния вновь будет произведен статистический анализ и его результаты получат все инвесторы.

На основании новой полученной информации каждый инвестор скорректирует структуру своего рискового портфеля, а следовательно, изменится структура совокупного спроса. Структура предложения тоже изменится: рисковые бумаги, которые не пользуются спросом, исчезнут с рынка.

В результате на рынке может установиться равновесие спроса и предложения, при котором совокупная масса всех рисковых ценных бумаг распределится между инвесторами в полном соответствии с их оптимизирующими устремлениями[1].

Итак, можно сделать практически важный вывод: если на реальном рынке сложились условия, когда его поведение в течение длительного времени определяют участники, располагающие почти одинаковой информацией в одинаковом объеме и принимающие наилучшие возможные решения о формировании своего портфеля рисковых ценных бумаг, то на таком рынке распределение рисковых ценных бумаг будет иметь свойства, близкие к свойствам оптимального портфеля. То есть, при формировании оптимального портфеля рисковых ценных бумаг надо довериться рынку и выбрать портфель с той же структурой, что и портфель рынка. Это и есть основной вывод о структуре рынка в условиях модели САРМ, но мы его получили лишь на словах, а САРМ дает его строгое математическое доказательство.

Основное свойство оптимального портфеля выражено соотношением:

(1)

- эффективность j-ой ценной бумаги;

- эффективность портфеля в целом;

- бета j-ой ценной бумаги относительно портфеля;

- эффективность безрисковой части портфеля;

т.е. премия за риск каждой ценной бумаги пропорциональна премии за риск портфеля в целом, а коэффициентом пропорциональности является бета ценной бумаги относительно портфеля. В соответствии со сделанным выводом, это соотношение справедливо и для рынка. Заменив индекс портфеля p на индекс рынка m, получаем:

(2)

или

(3)

Таким образом, премия за риск, связанный с любой ценной бумагой, пропорциональна премии за риск рынка в целом, а коэффициент пропорциональности есть бета ценной бумаги относительно рынка. Соотношение (2) называется основным уравнением равновесного рынка модели САРМ. Часто используют его графическую интерпретацию:


(Рис. 1)

По оси абсцисс здесь отложены величины бета, по оси ординат - ожидаемые эффективности ценных бумаг. Прямая называется линией рынка ценных бумаг (Security market line, SML). Для идеального равновесного рынка задание бета позволяет найти ожидаемую эффективность в виде соответствующей точки на прямой. Обработка данных в рамках модели САРМ В качестве исходных данных для построения модели были взяты данные о капитализации компаний ежегодно публикуемого рейтинга "Эксперт-200" журнала "Эксперт". Этот рейтинг публикуется ежегодно, начиная с 1995 года, и содержит информацию о рыночной стоимости двухсот крупнейших компаний России. Всего было опубликовано шесть рейтингов (с 1995 по 2000 гг.), что уже дает нам достаточное количество данных для построения модели. Анализ децильного распределения рыночной стоимости предприятий в пределах рейтинга показывает, что капитализация 10% предприятий составляет 90% от общей капитализации. То есть суммарная капитализация компаний, не попавших в рейтинг пренебрежимо мала, и можно считать, что используемая нами информация отражает характер всего рынка инвестиций России.

К сожалению, количество компаний, по которым имелись данные о капитализации за все шесть лет, оказалось невелико (всего 32). Вместе с тем, имелось немало предприятий, по которым были данные за пять или четыре года. Мы решили попытаться использовать такие данные. В результате были отобраны компании, информация о капитализации которых представлена в размере не менее 50% (т.е. хотя бы за 3 года). Недостающие данные были восполнены путем прогнозирования значений на основе известных данных о капитализации других компаний той же отрасли. То есть для всех лет, капитализация данной компании в которых известна, была рассчитана ее доля от суммарной капитализации отрасли. Эти значения были интерполированы или экстраполированы для недостающих лет, затем была рассчитана капитализация отрасли для этих лет и, таким образом, спрогнозирована (пусть грубо) неизвестная капитализация предприятия. Конечно, такой прием искусственно увеличивает зависимость между капитализацией компаний внутри отрасли. Поэтому мы решили построить два вида моделей: общую - для всего рынка в разрезе отраслей и внутриотраслевую - для каждой отрасли в разрезе конечных предприятий. Как потом будет видно, внутриотраслевые модели обнаруживают гораздо более ярко выраженную зависимость эффективности от риска, чем общеотраслевая модель. В качестве индекса для расчета бета-коэффициента в модели была взята суммарная капитализация всех рассматриваемых фирм (капитализация рынка). Мы не стали использовать индексы АК&М и РТС, так как в их основу положены котировки отдельных акций, а мы рассматриваем полную капитализацию предприятия, и некоторые процессы могут по-разному влиять на эти величины (например, переоценка акций, их дополнительная эмиссия).

Таким образом, мы получили ряды из шести точек для капитализации фирм, отраслей и рынка в целом. Но прежде чем переходить от капитализации к эффективности нужно еще учесть инфляцию. В качестве индекса инфляции был взят индекс потребительских цен ИПЦ (по данным Госкомстата). Все данные о капитализации были приведены к 2000 году. Теперь полученные значения сопоставимы и можно рассчитывать эффективность.

Сначала построим общеотраслевую модель. Мы определяем эффективность отрасли как отношение капитализации в текущем периоде к капитализации в предыдущем периоде за вычетом единицы:

(4)

- эффективность j-ой отрасли в период t

- капитализация j-ой отрасли в период t

- капитализация j-ой отрасли в период t-1

Бета определяется как наклон прямой, характеризующей тренд линейной зависимости эффективности отрасли от эффективности рынка. По методу наименьших квадратов получаем:

(5)

- бета фактор j-ой отрасли

- вариация эффективности рынка,

(6)

 

- ковариация эффективности рынка и каждой отрасли,

(7)

- эффективность рынка (market) в период t

- эффективность j-ой отрасли в период t

- количество периодов (Т=5)

В качестве средней эффективности, соотнесенной с отраслью и ее бета выберем среднее арифметическое значение эффективностей ( ).

Теперь полученные пары значений бета / эффективность нанесем на график (диаграмма 1) и построим линию рынка SML (см. рис. 1). На диаграмме приведено уравнение линии регрессии. Это уравнение является уравнением равновесного рынка капиталов модели САРМ для российской экономики, и соответствует формуле (3).


(Диаграмма 1)

Таким образом, можно утверждать, что для российского рынка капиталов наблюдается, пусть и не ярко выраженная, зависимость между риском вложений и их эффективностью в полном соответствии с теорией САРМ.

Уравнение регрессии на диаграмме соответствует основному уравнению равновесного рынка САРМ. Из этого следует, что свободный член уравнения регрессии является безрисковой ставкой доходности r0. Так как при расчете эффективностей мы учитывали инфляцию, значит, полученное значение в 25% есть значение безрисковой ставки доходности с учетом инфляция. что кажется немного высоковатым для настоящего времени. Этому есть несколько объяснений.

За рассматриваемые пять лет эффективность безрискового вклада изменялась в весьма широких пределах и полученное значение в 25% есть ее средняя величина за прошедшие пять лет.

Эффективность, рассчитанная по формуле (4), есть полная эффективность. Следовательно, сопоставлять ее надо с полным риском. Модель САРМ описывает ценообразование на идеальном рынке, где весь риск описывается лишь бета-фактором. На реальном рынке риск распадается на две составляющие: систематический риск, связанный с риском рынка в целом, и случайный риск, связанный с конкретной ценной бумагой. От бета должен зависеть лишь риск систематический. То есть из полной эффективности нужно выделить ту часть (назовем ее систематической эффективностью), которая служит вознаграждением за систематический риск.

Отметим, что предложенные варианты являются лишь гипотезами, способными дать объяснение наблюдаемому факту. Их проверка не проводилась, и любые другие гипотезы также стоит принимать во внимание наравне с предложенными.

Последняя гипотеза не несет в себе конструктивного элемента, описывающего возможный алгоритм выделения той части эффективности, которая служит вознаграждением за систематический риск. Это сделано умышленно, чтобы не создать ошибочное впечатление о нем как о единственно возможном и стопроцентно правильном варианте. Мы можем лишь бездоказательно предложить возможный способ определения систематической эффективности.

В соответствии с теорией статистики, для каждого полученного бета можно рассчитать свой коэффициент детерминации (обозначается как R2). Он характеризует долю риска рассматриваемого вклада (в предприятие или отрасль), вносимую неопределенностью рынка в целом. Так как основное уравнение САРМ показывает линейную зависимость риска от эффективности, а также учитывая, что , можно попробовать выделить систематическую составляющую эффективности как часть полной эффективности, пропорциональную коэффициенту детерминации:

(8)

R2 можно рассчитать по формуле:

(9)

- бета фактор j-ой отрасли, формула (5)

- вариация эффективности рынка, формула (6)

- вариация эффективности отрасли,

(10)

или, подставляя (5)

(11)

то есть, коэффициент детерминации можно определить как квадрат коэффициента корреляции эффективностей отрасли и рынка.

Применяя предложенный вариант выделения части эффективности, служащей вознаграждением за систематическую составляющую риска, получим новый вид графика эффективность/риск:


(Диаграмма 2)

По сравнению с диаграммой 1, наклон линии регрессии почти не изменился, она лишь сдвинулась вниз. Полученное новое предполагаемое значение безрисковой ставки доходности равно 10%, что более соответствует нашим представлениям о ее величине. Однако, еще раз повторим, что предложенный способ реализации гипотезы о необходимости учета вознаграждения только за систематический риск является эмпирическим и не основан на строгом математическом доказательстве. Видимо, этот вопрос нуждается в дальнейшем исследовании, выходящем за рамки нашей небольшой статьи.

Применим описанную модель (формулы (4) - (11)) к каждой из рассматриваемых отраслей. Не будем приводить формулы модели для отрасли, они аналогичны формулам для рынка. Достаточно просто сделать замечание, что обозначение j относится уже не к отрасли, а к конкретному предприятию. В качестве индекса используется та же суммарная капитализация рынка.

В результате получим набор диаграмм эффективность / бета для каждой отрасли. Изначально в расчет бралось 9 отраслей, но внутриотраслевые диаграммы приведены лишь для шести. Оставшиеся содержат слишком мало предприятий для построения модели.

Так как по отдельным предприятиям данные о капитализации частично отсутствовали и были восполнены, что привело к некоторому искусственному увеличению зависимости от капитализации отрасли, на диаграмму были помещены лишь те предприятия, информация по которым представлена не менее чем на 2/3 (четыре года из шести). Тем не менее, качество внутриотраслевых зависимостей эффективности от риска заметно выше, чем межотраслевой в силу вышеописанных причин.

Выводы

Основываясь на полученных результатах, можно сделать вывод, что на российском рынке инвестиций существует зависимость эффективности от риска, и, следовательно, теоретически возможно применение модели САРМ. Практически, применение САРМ позволяет достоверно определить ставку дисконтирования лишь для трех десятков наиболее крупных предприятий, по которым присутствуют данные по капитализации за весь анализируемый период. Для более мелких предприятий рассчитанная ставка может не соответствовать реальной. Причин этому две. Во-первых, данные по капитализации этих предприятий частично отсутствуют, и бета-фактор не может быть рассчитан точно. Во-вторых, для мелких, и следовательно, менее ликвидных предприятий, величина бета-фактора, рассчитанного на основе анализа рынка, может не отражать реального риска, связанного с предприятием. К примеру, небольшая ее величина (меньше 0.5) отражает не низкий риск, а безразличие инвесторов к акциям данного предприятия. Наоборот, весьма большая величина (более 3) может получиться в результате произошедшего большого роста курса акций из-за их первоначальной недооцененности. Так, например, в 1997 году [2] акции (а, следовательно, и капитализация) некоторых компаний выросли по сравнению с 1996 годом в 10 раз и более, в то время, как рынок в целом вырос лишь в 4 раза[3]. То есть, большое значение бета-фактора отражает не сверхвысокий риск, а произошедший рост стоимости недооцененных объектов.

Таким образом, можно предложить следующий метод определения ставки дисконтирования:

Непосредственное определение ставки дисконтирования с использованием модели САРМ на российском рынке капиталов следует отложить до его перехода в более стабильное состояние и накопления большего количества статистической информации.


(Диаграмма 3)


(Диаграмма 4)


(Диаграмма 5)


(Диаграмма 6)


(Диаграмма 7)


(Диаграмма 8)

Примечания

[1] К сожалению, теория пока не в состоянии описать динамику процесса прихода к равновесию из произвольного начального состояния, а лишь констатирует , что такое возможно.

[2] Данные рейтинга "Эксперт-200" публикуются на 1 сентября отчетного года, и осенний кризис 1997 года не отражен в рейтинге 1997 года.

[3] В реальных ценах.

Лейфер Л. А., Дубовкин А. В.
Приволжский центр финансового консалтинга и оценки