Оценка рыночной стоимости компании на основе методов пространственной выборки

МЕНЬШИКОВ И.С, МЕНЬШИКОВА О.Р., РУТГАЙЗЕР В.М.

Для оценки рыночной стоимости компаний могут применяться факторные модели. Эти модели устанавливают, как меняются доходы по акциям той или иной компании в зависимости от влияния выделенных условий (факторов). Таким образом имитируется, как это сказано в известном учебнике "Инвестиции", "процесс формирования дохода" [1]. "Процессом формирования дохода, — разъясняется далее в этом учебнике, — называется статическая модель, которая описывает, как образуется доход по ценной бумаге" [2].

Существует три категории факторных моделей. Эти категории выделяются в зависимости от того, какие методы используются для обработки соответствующих данных. Это:

1. Методы временных рядов.

2. Методы пространственной выборки.

3. Методы факторного анализа.

Предмет статьи - характеристика метода пространственной выборки для формирования доходов по акциям компаний, а, следовательно, и их (компаний) капитализация.

Методы пространственной выборки (cross-sectional approaches) применяются в экономическом анализе и прогнозировании. В частности, одним из авторов этой статьи данный метод использовался в первой половине 70-х годов для прогнозирования национального дохода СССР в зависимости от влияния факторов (труда и капитала) в разрезе союзных республик [З]. Скажем, однако, что эти методы используются существенно реже, чем методы временных рядов. Очевидно, как пишет У.Ф. Шарп и соавторы, "методы временных рядов являются наиболее интуитивно понятными для инвесторов"[4]. Но эти авторы добавляют, что несмотря на то, что "метод пространственной выборки... менее распространен, чем метод временных рядов", он тем не менее, "часто оказывается не менее мощным средством" [5].

Мы назвали систему расчетов, основанных на обработке перекрестных данных, методом подобия технологических факторов. Используемые данные характеризуют дочерние компании холдинга "Связьинвест". Представим, что нам следует оценить уровень капитализации, т.е. совокупную стоимость одной такой компании. Назовем эту компанию АВС.

Компания АВС входит в группу технологически однородных компаний электросвязи. Технологические факторы компаний описаны на сайте холдинга "СвязьИнвест". В связи с этим возникает возможность дополнить оценку стоимости компании АВС еще одним методом, который можно назвать методом подобия технологических факторов.

Этот метод основан на двух взаимнодополнительных подходах:

- коэффициенты технологического подобия компаний;

- внутриотраслевая регрессия.

Для анализа были выбраны 32 компании электросвязи, акции которых котируются в Российской Торговой Системе. В таблице 1 приведен список названий компаний и их кодов в РТС.

Таблица 1

компании Код РТС Наименование эмитента
1 CHES Череповецэлектросвязь
2 ELKU Электросвязь Курской области
3 ELRO Электросвязь Ростовской области
4 ENCO Электросвязь Новосибирской области
5 ESAL Электросвязь Республики Алтай
6 ESBU Электросвязь Республики Бурятия
7 ESHS Электросвязь Республики Хакасия
8 ESIR Электросвязь Иркутской области
9 ESKC Карачаево-Черкесскэлектросвязь
10 ESKG Электросвязь Калужской области
11 ESKI Кировэлектросвязь
12 ESKK Электросвязь Красноярского края
13 ESKL Электросвязь Калининградской области
14 ESKM Электросвязь Кемеровской области
15 ESKT Электросвязь Костромской области
16 ESKU Электросвязь Курганской области
17 ESMO Электросвязь Московской области
18 ESOB Электросвязь Оренбургской области
19 ESOM Электросвязь Омской области
20 ESOR Электросвязь Орловской области
21 ESPK Электросвязь Приморского Края
22 ESST Электросвязь Ставропольского края
23 ESTB Тамбовская электросвязь
24 ESTV Электросвязь Тверской области
25 ESUL Электросвязь Ульяновской области
26 ESVD Владимирэлектросвязь
27 ESVL Электросвязь Вологодской области
28 ESVO Волгоградэлектросвязь
29 KUBN Кубаньэлектросвязь
30 MUEL Мурманэлектросвязь
31 SRES Саратовэлектросвязь
32 АВС АВС

 

В таблице 2 приведена расшифровка 12 технологических факторов.

Таблица 2

№ фактора Наименование фактора
1 Уровень цифровизации монтированной емкости АМТС (%)
2 Уровень внедрения цифровой аппаратуры в технике передачи на МТС (%)
3 Коэффициент использования монтированной емкости АМТС (%)
4 Число основных квартирных телефонов на 100 семей (ГТС)
5 Число основных квартирных телефонов на 100 семей (СТС)
6 Основные телефонные аппараты, имеющие выход на АМТС (ГТС) (%)
7 Основные телефонные аппараты, имеющие выход на АМТС (СТС) (%)
8 Удельный вес монтированной емкости электронных и квазиэлектронных АТС (%)
9 Уровень внедрения цифровой аппаратуры в технике передачи на ГГС (%)
10 Уровень внедрения цифровой аппаратуры в технике передачи на СТС (%)
11 Коэффициент использования монтированной телеграфной емкости (%)
12 Телеграфные связи, работающие по системе коммутации сообщений (%)

 

Исходные данные представлены матрицей А (см. таблицу 3) с n строками (по числу компаний) и m столбцами (по числу технологических факторов). Типично, что п > m. В нашем случае n=32, а m=12. Каждая компания представлена в матрице А одной строкой значений технологических факторов. В данном случае каждое значение может изменяться в пределах от 0 до 100, поскольку все факторы заданы в процентном выражении.

Таблица 2

Код РТС 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Капитали- зация
1 CHES 0 0 32.14 47.51 0 100 14.69 15.06 100 33.64 32.32 100 $2,894,900
2 ELKU 0 27.86 87.21 43.73 13.66 96.3 30.22 18.83 82.12 43.17 25.19 63.89 $6,051,033
3 ELRO 52.07 12.11 68.9 36.62 18.85 96.9 47.64 19.15 99.74 64.37 27.22 30.15 $113,929,665
4 ENCO 57.28 27.93 55.9 36.26 23.71 91.94 67.12 22.67 68.47 64.8 51.1 49.1 $43,688,700
5 ESAL 100 0 49.9 38.35 20.74 97.97 61.07 19.16 0 11.56 53.75 91.3 $198,163
6 ESBU 100 15.77 43.97 33.11 27.03 89.34 34.53 30.93 90.51 40.39 49.12 70.37 $648,368
7 ESHS 100 0 72.25 35.74 22.28 97.21 63.92 0.25 58.88 36.21 36.35 32.84 $2,475,600
8 ESIR 100 7.76 89.07 38.14 11.27 95.46 24.46 40.71 94.17 34.57 33.25 82.08 $54,280,352
9 ESKC 53.37 31.89 30.1 59.59 30.12 99.52 46.55 17.15 52.79 84.51 24.75 56.76 $83
10 ESKG 100 57.49 54.38 59.44 18.38 97.82 55.76 49.37 97.3 57.21 39.28 23.75 $9,219,911
11 ESKI 0 13 76.19 43.93 18.15 96.48 49.27 15.73 83.35 50.66 50.78 53.91 $10,745,831
12 ESKK 64.25 9.97 53.02 31.56 17.88 91.1 43.82 24.9 95.58 61.79 44.33 65.37 $35,100,576
13 ESKL 53.14 0.67 70.44 35.4 15.08 98.85 87.12 19.56 99.42 76.2 48.21 98.96 $4,618,985
14 ESKM 99.85 10.07 89.63 38.49 20.81 97.44 30.39 31.45 73.05 57.12 40.31 83.47 $16,526,466
15 ESKT 0 4.88 41.75 30.99 25.56 91.02 44.46 5.49 87.26 43.19 67.5 41.41 $1,542,138
16 ESKU 33.3 8.5 57.62 35.25 26.31 98.47 70.97 12.54 87.23 40.26 57.48 22.68 $3,013,961
17 ESMO 53.08 30.48 33.63 52.56 20.3 94.02 68.92 15.61 77.51 69.16 46.27 79.5 $111,353,520
18 ESOB 57.44 3.36 52.97 44.2 22.85 96.69 42.63 32.93 97.54 63.35 53.67 98.36 $15,898,520
19 ESOM 100 29.48 40.58 44.74 21.03 97.25 41.68 26.58 86.77 52.02 51.09 28.95 $14,369,520
20 ESOR 0 19.16 40.32 47.27 16.48 97.13 38.63 22.12 100 52.01 63.62 25.32 $5,150,210
21 ESPK 100 47.5 71.91 37.87 20.05 93.07 41.21 28.23 96.22 37.42 44.27 84.34 $22,793,617
22 ESST 95.68 23.45 59.09 61.09 24.58 90.62 61.02 43.39 91.77 67.41 45.7 63.47 $22,793,400
23 ESTB 100 34.46 81.42 47.58 17.46 98.79 53.16 32.54 95.29 50.89 55.27 65.57 $6,233,392
24 ESTV 0 12.52 79.74 29.26 16.26 92.39 17.67 25.36 93.08 43.86 49 56.83 $13,928,200
25 ESUL 50.61 29.06 54.75 37.88 16.83 96.25 55.44 7.16 97.55 72.56 56.61 76.98 $2,689,896
26 ESVD 100 42.21 81.91 34.94 14.47 96.52 42.55 6.8 73.7 59.86 38.71 52.17 $13,237,614
27 ESVL 0 0 85.47 40.15 18.53 97.43 42.58 35.75 94.91 40.71 38.33 71.11 $7,104,900
28 ESVO 57.74 20.7 51.77 42.97 20.08 99.6 55.86 19.84 70.88 71.84 45.05 86.29 $31,745,952
29 KUBN 49.72 27.91 66.98 43.03 22.29 95 78.93 21.42 93.62 81.57 51.07 47.26 $180,463,568
30 MUEL 28.81 33.73 61,3 59.53 27.39 93.01 23.38 19.72 89.69 31.13 61.47 80.23 $16,178,500
31 SRES 0 17.7 68.39 33.91 18.93 92.26 15.24 12.98 87.06 80.19 57.67 73.05 $21,114,171
Среднее значение капитализации $25,483,539
Стандартное отклонение $40,069,128

Помимо технологических факторов, которые являются сопоставимыми данными, для каждой компании определено значение рыночной капитализации, поскольку в группу отбирались только те компании электросвязи, акции которых котируются в РТС. Сама компания АВС также торгуется в РТС, однако не обладает пока достаточной ликвидностью, поэтому текущая оценка РТС ее капитализации, посчитанная на основе полусуммы цен заявок на покупку и продажу, требует уточнения. Нами были взяты с сайта РТС значения рыночной капитализации указанных компаний, рассчитанные для апреля 2000 года. Эти данные содержатся в последнем столбце таблицы 3. Будем считать, что компания АВС имеет код АВС в РТС, поэтому в дальнейшем для краткости так ее и будем обозначать.

Пусть cap(i) — текущая капитализация компании i по методике РТС. Задача состоит в том, чтобы получить уточняющую оценку величины сар(АВС), обозначим ее заглавными буквами САР(АВС), на основе учета капитализации технологически подобных компаний.

Первый подход

В рамках первого подхода необходимо определить коэффициенты технологического подобия компаний. Определим эти коэффициенты так:

k(i,j) = cov(i,j) / cov(i,g),

где cov(i,j) — ковариация компаний i и j, посчитанная по соответствующим строкам матрицы А технологических факторов, a cov(i,g) — сумма ковариаций cov(i,j) по всем компания j из группы g:

cov(i,g)= sumj<>i cov(i,j)

 

Группа g состоит из всех рассматриваемых компаний электросвязи за исключением компании i, в ней 31 элемент.

Для группы компаний электросвязи все ковариации положительны, что позволяет рассматривать коэффициенты k(i,j) в качестве весовых, поскольку все они положительны и в сумме по группе дают 1.

Определим оценку CAP(i) величины cap(i) как взвешенное среднее с коэффициентами технологического подобия k(i,j) капитализаций cap(j) всех компаний из рассматриваемой группы кроме изучаемой компании i:

CAP(i) = sumj<>i k(i,J)cap(j)

Расчеты с учетом технологического подобия показывают, что для компании АВС текущая оценка РТС сар(АВС) существенно занижена.

Посмотрим на последний столбец таблицы 3, в котором содержатся сведения о капитализации компаний электросвязи по данным РТС.

Определим величину доверительного интервала для оценки однородности компаний в соответствии с ГОСТ 8.009-72. Верхняя граница интервала будет равна 91,196,909 долларов США (Среднее значение капитализации + Стандартное отклонение, умноженное на 1.64).

Мы видим, что есть три компании, которые по капитализации превышают верхнюю границу доверительного интервала. Это - "Электросвязь Ростовской области" (ELRO), "Электросвязь Московской области" (ESMO) и "Кубаньэлектросвязь" (KUBN). Исключив эти компании из рассмотрения, мы получим однородную группу с вероятностью 90%.

Исключим также компанию "Карачаево-Черкесскэлектросвязь" (ESKC) с капитализацией в 83 доллара США, поскольку эта цена не представляется реальной.

Таким образом мы получили множество g компаний, с которыми мы будем сравнивать АВС.

В таблице 4 в столбце, озаглавленном "Ковариации", содержатся ковариации компании АВС со всеми остальными компаниями рассматриваемой группы g. Другими словами, этот столбец содержит cov(32, j), где j принимает значения 1,2,...,31, за исключением 3, 9, 17, 29. Так, например, cov(32,1) = cov(ABC,CHES) = 625, cov(32,2) = cov(ABC,ELKU) = 402 и так далее. Сумма всех этих ковариаций расположена в последней строке рассматриваемого столбца ковариаций, она равна 14707. В столбце "Коэффициенты подобия", расположены числа, получающиеся делением соответствующих ковариаций на их сумму 14707. Наконец, скалярное произведение двух последних столбцов таблицы "Коэффициенты подобия" и "Капитализация в РТС" дает нам искомую оценку капитализации компании АВС (САР(АВС)). Она равна 15,024,142 долларов США, что существенно превышает капитализацию компании АВС по данным РТС на апрель 2000 года.

Таблица 4

Оценка капитализации компании AВС

Код компании Ковариации Коэффициенты подобия Капитализация в РТС
1 CHES 625 0.0425 $2,894,900
2 ELKU 402 0.0274 $6,051,033
4 ENCO 374 0.0254 $43,688,700
5 ESAL 513 0.0349 $198,163
6 ESBU 711 0.0483 $648,368
7 ESHS 684 0.0465 $2,475,600
8 ESIR 892 0.0607 $54,280,352
10 ESKG 592 0.0403 $9,219,911
11 ESKI 350 0.0238 $10,745,831
12 ESKK 619 0.0421 $35,100,576
13 ESKL 608 0.0413 $4,618,985
14 ESKM 727 0.0494 $16,526,466
15 ESKT 322 0.0219 $1,542,138
16 ESKU 445 0.0303 $3,013,961
18 ESOB 614 0.0417 $15,898,520
19 ESOM 642 0.0436 $14,369,520
20 ESOR 350 0.0238 $5,150,210
21 ESPK 699 0.0475 $22,793,617
22 ESST 601 0.0409 $22,793,400
23 ESTB 694 0.0472 $6,233,392
24 ESTV 437 0.0297 $13,928,200
25 ESUL 496 0.0337 $2,689,896
26 ESVD 625 0.0425 $13,237,614
27 ESVL 491 0.0334 $7,104,900
28 ESVO 469 0.0319 $31,745,952
30 MUEL 410 0.0278 $16,178,500
31 SRES 315 0.0214 $21,114,171
Сумма 14707 1 $384,242,876

 

Метод коэффициентов подобия

Оценка капитализации компании АВС - $15,024,142

Второй подход

В рамках второго подхода проводится множественная регрессия внутри группы компаний электросвязи с целью выяснения влияния различных технологических факторов на величину рыночной капитализации. Пусть x(f) — искомый коэффициент влияния фактора f, x(0) — свободный член. Тогда множественная регрессия по существу сводится к приближенному решению системы уравнений:

Ax + х(0) = cap, (1)

где х — вектор коэффициентов влияния факторов, a cap — вектор капитализаций компаний из рассматриваемой группы согласно данным РТС.

Поскольку число компаний превышает число факторов, то это уравнение приближенно решается методом наименьших квадратов (отклонений от равенства). Основным критерием качества приближенного решения служит коэффициент детерминации R2, который определяется как квадрат отношения стандартных отклонений левой и правой части системы уравнений (1). Коэффициент R2 заключен в пределах от 0 до 1, причем, чем ближе он к 1, тем выше качество регрессии (подробнее см. Приложение).

После расчета коэффициентов влияния факторов х можно получить величину капитализации CAP(i) оцениваемой компании i как сумму произведений A(i,f)x(f) пo всем рассматриваемым факторам (в данном случае их 12) с добавлением свободного члена х(0).

Оценка САР(АВС), полученная на основе подхода внутриотраслевой регрессии, также дает большее значение по сравнению с величиной капитализации сар(АВС), рассчитанной по методике РТС. Приведем полученные результаты. Отметим, что при получении этих результатов не рассматривались те же четыре компании, которые были исключены из рассмотрения при реализации первого подхода.

Метод внутриотраслевой регрессии

Оценка капитализации - $16,354,361

Коэффициент детерминации компании АВС - 0.380

Приложение

Факторы стоимости для группы однородных компаний

Имеется группа из n однородных компаний одной отрасли. Выделены m факторов, положительно влияющих на стоимость компании. Это означает, что увеличение данного фактора приведет к увеличению стоимости компании. Задача состоит в определении степени влияния факторов. Эта задача может быть решена методом множественной линейной регрессии с последующим анализом полученных результатов.

Пусть А — матрица с n строками и m столбцами (n>m), строка, которой показывает значение факторов для компаний. Вектор с описывает стоимости компаний. Обозначим через х вектор влияния факторов. Тогда у = Ax — вектор объясненной стоимости при заданном уровне факторов. Методом наименьших квадратов можно найти такой вектор влияния факторов х, для которого вектор объясненной стоимости будет наилучшим приближением к вектору реальной стоимости с. Вектор остаточной стоимости z = с - у ортогонален ко всем векторам факторов (zA=0) и вектору объясненной стоимости у( z*y=0 ). Остаточная стоимость z не может быть никак объяснена через данные факторы. Вектору z соответствует нулевое значение влияния факторов.

Анализ результатов должен включать по крайней мере два исследования.

1. Качество регрессии обычно оценивается коэффициентом детерминации

R2 = s 2y / s 2c,

где s 2y и s 2c — дисперсии с и у измеряют разброс значений стоимости и объясненной стоимости соответственно. В силу условия ортогональности остаточной стоимости

s 2c = s 2y + s 2z.

Отсюда

R2 = 1 - s 2z / s 2c.

Если разброс значений остаточной стоимости мал относительно разброса значений, то коэффициент детерминации R2 близок к 1. Величина

e = (1 - R2)0.5

может трактоваться как доля необъясненной стоимости.

2. Если отобранные факторы должны оказывать положительное влияние на стоимость компании, то мы вправе ожидать, что коэффициенты влияния x положительны. Однако метод наименьших квадратов не гарантирует положительность коэффициентов х. С чем может быть связана положительность коэффициентов влияния?

Для начала упростим задачу, представив, что нам удалось объяснить всю стоимость (т.е. что у= с и R2 = 1). Даже и в этом случае коэффициенты влияния хне обязательно должны быть положительными.

Назовем простым арбитражем такую ситуацию, когда факторы компании i лучше (или по крайней мере не хуже), чем факторы компании j, а стоимость Сi - компании i меньше стоимости Сj компании j.

Если матрица А и вектор С содержат простой арбитраж, то все коэффициенты х не могут быть все положительны.

Арбитраж общего вида задается весом aj для каждой компании i, если имеет место условие a • A => 0 и a • y <= 0, причем хотя бы одно из неравенств является строгим. Если a • А трактовать как синтетическую фирму, обладающую данными факторами, то условия арбитража будут приводить к одному из типов противоречия:

1. Можно бесплатно приобрести компанию с положительными факторами;

2. Существуют одинаковые по факторам, но разные по стоимости синтетические компании.

Условие отсутствия арбитража являются необходимым и достаточным условием положительности коэффициентов влияния.

При выявлении арбитража исходных данных следует продолжить работу по отбору факторов и анализу исходных данных, то есть системы <А, c>.

Если R < 1, то не вся стоимость может быть объяснена через данные факторы. Стоимость с = y + z разделяется на факторную (у) и не факторную (z) стоимость. Для того, чтобы коэффициенты влияния факторов х были положительными (или хотя бы неотрицательными) нужно, чтобы система <А, у> была безарбитражной. Здесь место стоимости с занимает факторная стоимость у.

Итак, в общем случае успех метода определяется двумя условиями:

- высокая степень детерминации,

- безарбитражность факторной стоимости.

Использованная литература

[1]. Ф. Шарп, Г. Дж. Александер, Дж. В. Бэйли "Инвестиции", М., "Инфра-М", 1997, c. 289.

[2]. Там же.

[З]. В. Рутгайзер "Региональные особенности общественного воспроизводства", М., "Мысль", 1971.

[4]. Ф. Шарп, Г. Дж. Александер, Дж. В. Бэйли "Инвестиции", М., "Инфра-М", 1997, с. ЗОО.

[5]. Там же, с. 304.

Опубликовано в книге "Междисциплинарные вопросы оценки стоимости", выпуск 1, под редакцией д.э.н., профессора В.М. Рутгайзера, М., ЗАО "КВИНТО_КОНСАЛТИНГ", 2000


.